Grenzen der Mathematik
- Seminar, Sebastian Böhne, Mo. 12:00-14:00, 3.04.0.02
- Seminar, Sebastian Böhne, Do. 12:00-14:00, 3.04.0.02
Das Seminar richtet sich an alle Mathematiker, Informatiker und Philosophen, die eine Vorliebe für theoretische Ergebnisse haben und die genau wissen wollen, wie Methoden der Theoretischen Informatik der Mathematik dabei helfen können, philosophische Fragen zu beantworten.
In dem Seminar werden wir uns hierfür mit den Möglichkeiten und den Grenzen der Mathematik beschäftigen, indem wir diese systematisieren. Durch die Einführung formaler Systeme werden wir mit der Zermelo-Fränkel-Mengenlehre ein modernes, formales Grundlagensystem für die Mathematik kennenlernen und dabei feststellen, wie mit einem Computer Sätze bewiesen werden können. Wir werden noch einmal die in der Theorie II behandelte Berechenbarkeitstheorie aufgreifen und ihre Verquickung mit den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen herausstellen (insbesondere über die algorithmische Informationstheorie), wobei die Unvollständigkeitssätze die Grenzen für axiomatische Systeme aufzeigen. Zum Schluss werden wir mit den Nichtstandardmodellen für die Peano-Arithmetik (das sind formalisierte Rechenregeln für die natürlichen Zahlen) Systeme aufspüren, die sich trotz ihrer "fehlenden Natürlichkeit" einer Trennung von den Peano-Axiomen entziehen.
Um die Ergebnisse zu erhalten, müssen wir die Perspektive ändern: Wir werden nicht nur mithilfe der Mathematik, sondern über Mathematik sprechen. Dies wird uns zu philosophischen Fragestellungen führen: Was ist Wahrheit? Gibt es Unendlichkeit(en)? Was ist ein Beweis? Was können wir wissen? Gibt es DIE Mathematik oder doch mehrere Mathematiken?
Literatur
- Hoffmann, Dirk: Grenzen der Mathematik. Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik (Pflichtliteratur)
- Hoffmann, Dirk: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze
- Bedürftig, Thomas und Murawski, Roman: Philosophie der Mathematik